Page

Глава IV. Простейшие движения твердого тела.

Рекомендуемая литература: 73-76 [5], 78-84 [6].

4.1. Поступательное движение твердого тела.

Различают пять видов движения твердого тела:

1) . Поступательное;

2) . Вращательное;

3) . Плоское, или плоскопараллельное;

4) . Сферическое;

5) . Общий случай движения твердого тела.

Приступая к изучению движения твердого тела, нужно прежде всего установить, к какому из указанных выше видов движения оно относится.

Поступательное и вращательное движения являются простейшими движениями твердого тела. Рассмотрим в первую очередь поступательное движение твердого тела.

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается во все время движения тела параллельной своему начальному положению.

Теорема. Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают одинаковые (совпадающие при наложении) траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.

Для доказательства теоремы выберем две произвольные точки твердого тела A и В и проведем из точки А в точку В радиус-вектор (рис. 4.1).

Так как тело движется поступательно, то во время его движения отрезок АВ остается параллельным своему начальному положению, а потому значения радиуса-вектора в любые моменты времени t и t₁ геометрически равны, т.е.

Проведем из произвольного неподвижного полюса О в точки А, В, А₁, B₁радиусы-векторы f_A, f_B, f_A₁, f_B₁. Из ΔОАВ устанавливаем равенство

которое будет справедливым во все время движения.

Это равенство показывает, что любому положению точки А соответствует определенное положение точки В, отстоящее от А по направлению на расстоянии АВ.

Поэтому если траекторию точки А переместить по направлению на расстояние АВ, то она совпадает с траекторией точки В, т.е. траектории точек А и В одинаковы.

Определим вектор скорости точки В как производную от радиуса-вектора этой точки по времени по формуле (2.4):

Поэтому , т.е. скорости точек А и В геометрически равны. Определив ускорения точек А и В тела согласно (3.1), получим

т.е. ускорения точек А и В геометрически равны.

Так как точки А и В произвольны, то полученные соотношения относятся ко всем точкам тела.

Установленные свойства поступательного движения позволяют свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной точки этого тела, т.е. к задаче кинематики точки.

Общие для всех точек твердого тела, движущегося поступательно, скорость и ускорение называют скоростью и ускорением поступательного движения твердого тела.

При любом другом движении твердого тела точки тела движутся с различными скоростями и ускорениями.

Уравнениями поступательного движения твердого тела являются уравнения движения любой точки этого тела – обычно уравнения движения его центра тяжести С:

(4.1)

Точки твердого тела, движущегося поступательно, могут описывать любые траектории, в том числе и прямые.

Примером поступательного движения твердого тела является движение спарника АВ, соединяющего пальцы равных кривошипов О₁А и О₂В (рис. 4.2). Все точки спарника описывают окружности радиусом, равным длине кривошипа, и имеют геометрически равные скорости и ускорения.