4.4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

На рис. 4.4 изображена окружность, представляющая собой траекторию произвольной точки М тела. Расстояние точки от оси вращения, равное радиусу этой окружности, обозначим R.

Если ОС – радиус, лежащий в неподвижной полуплоскости Р, а NC – радиус, лежащий в подвижной полуплоскости Q и вращающийся вместе с ней, то .

Угол  при вращении его сторон NC и МС вместе с телом не изменяется:

.

Положение точки М определим дуговой координатой s, отсчитанной от неподвижной точки О в направлении отсчета угла поворота . Тогда

где углы  и  выражены в радианах.

Определим модуль скорости точки М, называемой вращательной, или окружной скоростью этой точки, по формуле (2.8):

             (4.17)

Модуль вращательной скорости точки твердого тела равен произведению расстояния от точки до оси вращения на угловую скорость тела.

Из формулы (4.17) следует, что модули вращательных скоростей различных точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения (рис. 4.5).

Если соединить отрезком прямой конец скорости, например точки А вращающегося диска, с центром вращения С, то концы скоростей точек В, D и Е диска будут лежать на этой прямой. Это очевидно из подобия образовавшихся треугольников, высоты которых v_E, v_D, v_B и v_A пропорциональны их основаниям СЕ, CD, СВ и СА.

Ускорение точки М определим по его составляющим: касательному ускорению, направленному по касательной к окружности, и нормальному ускорению, направленному к центру С.

Эти ускорения точек вращающегося тела называют вращательным и центростремительным ускорениями и обозначают  и  (см. рис. 4.4). По формулам (3.16) и (4.8) находим

               (4.18)

Модуль вращательного ускорения точки твердого тела равен произведению расстояния от точки до оси вращения на модуль углового ускорения тела.

По формуле (3.14) находим

             (4.19)

Модуль центростремительного ускорения точки твердого тела равен произведению расстояния от точки до оси вращения на квадрат угловой скорости тела.

Модуль полного ускорения точки

                (4.20)

Тангенс угла , составленного ускорением  с радиусом окружности СМ

              (4.21)

Эта формула показывает, что угол, составленный ускорением точки вращающегося тела с отрезком, соединяющим точку с центром окружности, не зависит от положения точки в теле.

Из формул (4.18), (4.19) и (4.20) следует, что модули вращательных, центростремительных и полных ускорений точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения. Поэтому по ускорению какой-либо точки А вращающегося диска (рис. 4.6) можно определить графически ускорение любой другой точки В этого диска, лежащей на радиусе АС.

При равномерном вращении тела

а поэтому

.

Таким образом, при равномерном вращении ускорение точки является центростремительным, а его модуль

.

В этом случае ускорение  точки М направлено к центру С окружности, описываемой этой точкой.

 

4.5. Примеры решения задач на вращательное движение твердого тела.

Пример 4.2. Вращение маховика в период пуска машины определяется уравнением

 

где t – в секундах,  - в радианах. Определить модуль и направление ускорения точки, отстоящей от оси вращения на расстоянии 50 см, в тот момент, когда ее скорость равна 8 м/с.

Решение.

По уравнению вращения маховика находим его угловые скорость и ускорение согласно формулам (4.6) и (4.8):

Пользуясь формулой (4.17), находим момент времени t₁ когда скорость точки М равна 8 м/с:

По этому значению  из (1) находим

По уравнению (2) вычисляем , а затем по формулам (80.2), (80.3) и (80.4) модули вращательного, центростремительного и полного ускорений точки М в этот момент времени:

Как видно, модуль полного ускорения точки весьма мало отличается от модуля центростремительного ускорения точки (рис. 4.7).

Направление ускорения точки определяется углом , образованным ускорением и радиусом СМ:

 

Пример 4.3. Груз А, подвешенный к нити АВ, намотанной на барабан, опускается равноускоренно из состояния покоя, приводя во вращение барабан. За первые 3 с барабан совершает 9 оборотов. Определить в конце 5-й секунды скорость и ускорение точки обода барабана, а также груза А, если диаметр барабана D = 30 см (рис. 4.8 а).

Решение.

Барабан вращается равноускоренно согласно уравнению (4.14):

Формула угловой скорости имеет вил (4.15):

Для того чтобы начальное значение угла поворота  было равно нулю, следует неподвижную полуплоскость поместить в начальном положении подвижной полуплоскости, вращающейся с барабаном. Выполним это к получим .

При вращении из состояния покоя начальная угловая скорость барабана равна нулю . При этих условиях формулы (4.13) и (4.15) принимают вид

Так как при t = 3 с  рад, то угловое ускорение:

Найдем угловую скорость, барабана в конце 5-й секунды:

Определим в точке В обода барабана (рис. 4.8 б) модули вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений в этот же момент времени по формулам (4.17), (4.18), (4.19):

(модуль вращательного ускорения точки тела при равнопеременном вращении одинаков для всех моментов времени);

Модуль полного ускорения точки обода барабана определяется по формуле (4.20):

Вследствие незначительной величины модуля вращательного ускорения по сравнению с модулем центростремительного ускорения полное ускорение приближенно равно центростремительному.

Скорость груза равна скорости точки обода барабана:

Ускорение груза (pиc. 4.8 б) равно вращательному ускорению точки обода: