§4.6. Векторные выражения вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений.

Введем понятия векторов угловой скорости  и углового ускорения .

Условимся откладывать вектор угловой скорости тела  от любой точки оси вращения, направляя его по этой оси так, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела происходящим в сторону, обратную вращению часовой стрелки (рис. 4.9 а, б).

Модуль этого вектора должен быть равен абсолютному значению угловой скорости, определяемому по формуле (4.5):

.

Принятое правило обусловлено применением правой системы осей координат, которой соответствует положительное направление вращения в сторону, обратную вращению часовой стрелки: при пользовании левой системой вектор  следует направить так, чтобы, смотря ему навстречу, видеть вращение тела происходящим в сторону вращения часовой стрелки.

Векторы, направления которых зависят от принятой системы координат, называются псевдовекторами. Примерами псевдовекторов кроме угловой скорости могут служить также момент силы относительно точки и момент пары сил. При сложении псевдовекторов действительны правила параллелограмма и многоугольника.

Вектор углового ускорения  характеризует изменение вектора угловой скорости  в зависимости от времени, т.е. он должен быть равен производной от вектора угловой скорости по времени:

              (4.21)

Направление векторной производной совпадает с предельным направлением приращения дифференцируемого вектора. Так как вектор  имеет постоянное направление, то направление его приращения  совпадает с направлением самого вектора  при уско­ренном вращении и противоположно ему – при замедленном.

Таким образом, направление вектора  совпадает с направлением вектора  при ускоренном вращении и противоположно ему при замедленном (рис. 4.10 а, б).

Модуль вектора  равен абсолютному значению углового ускорения

.

Так как точкой приложения векторов  и  может быть любая точка оси вращения, то векторы  и  являются скользящими.

Пользуясь понятием вектора угловой скорости ю, легко получить векторное выражение вращательной скорости.

Изобразим вектор угловой скорости , радиус-вектор  точки М тела относительно произвольной точки О оси вращения и вращательную скорость этой точки  (рис. 4.11). Модуль вращательной скорости , где  - угол между радиусом-вектором  и вектором угловой скорости .

Модуль векторного произведения

.

Сопоставляя значения v и , устанавливаем, что модуль вращательной скорости v равен модулю векторного произведения . Вращательная скорость  направлена перпендикулярно плоскости треугольника СОМ, т.е. плоскости векторов сомножителей  и ; если смотреть навстречу , можно видеть поворот вектора  к вектору  на угол , совершающимся в сторону, обратную вращению часовой стрелки, т.е. направление вращательной скорости  совпадает с направлением векторного произведения  .

Следовательно, векторы  и  имеют равные модули и одинаковое направление, т.е. они равны между собой:

              (4.22)

Таким образом, вращательная скорость точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки относительно любой точки оси вращения.

Выражение (4.22) является одним из основных соотношений кине­матики твердого тела.

Если известны проекции _х, _у, _z вектора угловой скорости, направленного по оси вращения тела ОА, на оси координат (рис. 4.12) и координаты некоторой точки М тела х, у, z, то вращательную ско­рость этой точки можно найти с помощью определителя векторного произведения:

Отсюда определяются проекции вращательной скорости точки на оси координат:

                  (4.23)

Эти формулы получены Эйлером в 1765г. и называются формулами Эйлера.

В случае если ось вращения тела совпадает с одной из осей координат, например с осью z, имеем

откуда

Для получения векторных формул вращательного и центростремительного ускорений продифференцируем по времени выражение

тогда

             (4.24)

Здесь

и

Подставляем в (4.24) эти значения:

или

Покажем, что первое слагаемое  есть вращательное ускорение, а второе слагаемое  - центростремительное ускорение.

На рис. 4.13 а показаны направления вращательного ускорения  и центростремительного ускорения  для случая ускоренного вращения, а на рис. 4.13 б – направления тех же ускорений для случая замедленного вращения.

Модуль вращательного ускорения (рис. 4.13 а)

где  - угол между радиусом-вектором  и вектором углового ускорения .

Модуль векторного произведения

Сопоставляя значения модулей  и , устанавливаем

Вращательное ускорение  направлено перпендикулярно плоскости треугольника СОМ, т. е. плоскости векторов сомножителей  и ; если смотреть навстречу , то можно видеть поворот вектора  к вектору  на угол  (рис. 4.13 а) или на угол  (рис. 4.13 б), совершающимся в сторону, обратную вращению часовой стрелки, т.е. направление вращательного ускорения  совпадает с направлением векторного произведения .

Следовательно,

             (4.25)

Таким образом, вращательное ускорение точки твердого тела, врашающегося вокруг неподвижной оси, равно векторному произведению вектора углового ускорения тела на радиус-вектор этой точки относительно любой точки оси вращения.

 Модуль центростремительного ускорения

Модуль векторного произведения

так как  при .

Сопоставляем значения модулей  и :

Если мысленно перенести вектор угловой скорости в точку М, то, смотря навстречу центростремительному ускорению , перпендикулярному плоскости векторов сомножителей  и , можно видеть поворот вектора  к вектору  на угол 90°, совершающийся в сторону, обратную вращению часовой стрелки, т.е. направление центростремительного ускорения  совпадает с направлением векторного произведения . Следовательно,

              (4.26)

Таким образом, центростремительное ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно векторному произведению вектора угловой скорости тела на вращательную скорость этой точки.

 

§4.7. Передаточные механизмы.

Передаточные механизмы предназначены для передачи вращения от одного вала, называемого ведущим, к другому, называемому ведомым. Если оси ведущего и ведомого валов параллельны или пересекаются, то вращение можно передать с помощью фрикционной, зубчатой или ременной передачи (рис. 4.14 – 4.17).

Во фрикционной передаче вращение передается вследствие действия силы сцепления на поверхности соприкасающихся колес, в зубчатой передаче – от зацепления зубьев.

Вращательная скорость  в точке соприкасания колес относится к точкам обоих колес, т.е. ее модуль определяется как

откуда

              (4.27)

Таким образом, угловые скорости колес фрикционной или зубчатой передачи обратно пропорциональны радиусам колес.

Отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведомого колеса называется передаточным числом:

i = ₁ / ₂                 (4.28)

Передаточное число можно вычислить как обратное отношение радиусов колес:

i = r₂/r₁                    (4.29)

Так как числа зубьев пропорциональны длинам окружностей и, следовательно, радиусам, то передаточное число определяется и по числу зубьев:

i = z₂/z₁                 (4.30)

При внешнем зацеплении (см. рис. 4.14) направление вращения ведущего и ведомого колес противоположное, а при внутреннем (см. рис. 4.15) – одинаковое.

Кроме фрикционной и зубчатой передач существует передача на расстоянии с помощью гибкой связи (ремня, троса, цепи) (рис. 4.16).

Так как скорости всех точек ремня одинаковы и ремень не скользит по поверхности шкива, то к ременной передаче относятся те же соотношения:

Применяются также серии колес с неподвижными осями вращения в виде последовательного ряда с паразитными колесами (рис. 4.18) и последовательного ряда с кратным зацеплением (рис. 4.19), называемые рядовыми соединениями колес.

Определим передаточное число фрикционной передачи в виде рядового соединения с паразитными колесами:

для колес 1-2     ₁ / ₂ = r₂ / r₁

для колес 2 - 3   ₂ / ₃ = r₃ / r₂

Перемножаем левые и правые части, получаем

Для зубчатых колес

Передаточное число рядового соединения с паразитными колесами равно отношению радиусов (чисел зубьев) ведомого и ведущего колес и не зависит от радиусов (чисел зубьев) паразитных колес.

Определим передаточное число рядового соединения с кратным зацеплением.

Частное передаточное число для колес 1-2

Частное передаточное число для колес 3-4

Так как колеса 2-3 соединены жестко, т.е.  то общее передаточное число i = ₁ / ₄  равно произведению, передаточных чисел:

Для зубчатых колес

               (4.31)

Таким образом, общее передаточное число рядового соединения колес с кратным зацеплением равно произведению чисел зубьев ведомых колес, деленному на произведение чисел зубьев ведущих колес.

В рассмотренных выше передачах при равномерном вращении ведущего вала ведомый вал вращается тоже равномерно.

Для получения переменной угловой скорости ведомого вала применяются передачи, в которых расстояние от точки соприкасания колес до оси одного из валов или обоих валов изменяется.                                                      

Во фрикционной передаче, изображенной на рис. 4.20, колесо 1 перемещается вдоль его оси и отношение угловых скоростей зависит от переменного расстояния х:

               (4.32)

На рис. 4.21 изображены эллиптические колеса, оси вращения которых находятся в фокусах эллипсов. Отношение угловых скоростей зависит от переменных расстояний

где

            (4.33)

 

 

Вопросы для самоконтроля.

1. Перечислите основные виды движений твердого тела.

2. Какое движение твердого тела называется поступательным и какими свойствами оно обладает?

3. Какое движение твердого тела называется вращением вокруг неподвижной оси и как оно осуществляется?

4. По каким формулам определяются модули угловой скорости и углового ускорения вращающегося твердого тела?

5. Как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения при вращении тела вокруг неподвижной оси?

6. Выведите формулы модулей скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

7. При каких условиях ускорение точки вращающегося тела составляет с отрезком, соединяющим точку с центром описываемой ею окружности, углы 0, 45, 90°?

8. Ускорения каких точек вращающегося тела:

а) равны по модулю,

б) совпадают по направлению,

в) равны по модулю и совпадают по направлению?

9. Каковы векторные выражения вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений?

10. Выведите формулы Эйлера для проекций вращательной скорости точки на координатные оси.

11. Что представляет собой передаточное число передачи и как определяется передаточное число сложной передачи?