Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Пусть НСВ X задана плотностью вероятности f(x).
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл
Если возможные значения случайной величины принадлежат всей оси Ox, то
(если интеграл абсолютно сходится, т.е. существует 
).
По аналогии с дисперсией ДСВ X определяется дисперсия непрерывной случайной величины .
Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:
Легко получить формулу для вычисления дисперсии НСВ X:
Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные выше для ДСВ , справедливы и для непрерывной величины.
Кроме важнейших из характеристик положения – математическое ожидание и дисперсия – на практике применяются и другие характеристики положения, в частности, мода и медиана.
Модой M0(X) случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Термин, «наиболее вероятное значение», строго говоря, применим только к дискретным случайным величинам, для непрерывной случайной величины модой является то значение, в котором плотность вероятности f(x) максимальна. На рисунке показана мода M0(X) для дискретной и непрерывной случайных величин.
Если многоугольник распределения или кривая распределения имеет более одного максимума, то распределение называют полимодальным. Если же многоугольник распределения или кривая распределения имеет ровно один максимум, то распределение называют унимодальным.
В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, когда распределение является симметричным, существуют мода и математическое ожидание, то они совпадают друг с другом и с центром симметрии распределения. Например, совпадают мода и математическое ожидание у биномиального распределения с параметрами n и p, если n – четно.
Для непрерывных случайных величин часто применяют еще одну характеристику положения – медиану случайной величины. Медианой Me(X) непрерывной случайной величины X называется такое ее значение, для которого P(X < Me(X))=P(X < Me(X))=1/2.
Геометрически вертикальная прямая x=Me, проходящая через точку с абсциссой, равной x=Me, делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части.
В случае симметричного унимодального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.
Наряду с приведенными выше числовыми характеристиками для описания случайной величины используются понятия квантилей и процентных точек.
Квантилем уровня q (или q–квантилем) называется такое значение xq случайной величины X, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т.е. F(xq)=P(X< x < q)=q.
Некоторые квантили получили специальное название. Очевидно, медиана случайной величины есть квантиль уровня 0,5, т.е. Me(X)=x0,5 . Квантили x0,25 и x0,75 получили название соответственно нижнего и верхнего квантилей.
С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. 100q%-й точкой называется квантиль x1-q, т.е. такое значение случайной величины X, при котором P(x ≥ x1-q)=q.
Пример. Случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) моду и медиану случайной величины X; б) квантиль x0,4 и 20%-ю точку распределения X.
Решение. Найдем плотность вероятности f(x):
Очевидно, что плотность вероятности f(x) максимальна при x=M0(X)=1.
Медиану Me(X)=b найдем из условия:
Квантиль x0,4 найдем из уравнения x0,42=0,4; откуда x0,4≈0,632. Найдем 20%-ю точку случайной величины X, или квантиль x0,8, из уравнения x0,82=0,8; откуда x0,8≈0,894.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл
Если возможные значения случайной величины принадлежат всей оси Ox, то
(если интеграл абсолютно сходится, т.е. существует ).
По аналогии с дисперсией ДСВ X определяется дисперсия непрерывной случайной величины .
Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:
Легко получить формулу для вычисления дисперсии НСВ X:
Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные выше для ДСВ , справедливы и для непрерывной величины.
Кроме важнейших из характеристик положения – математическое ожидание и дисперсия – на практике применяются и другие характеристики положения, в частности, мода и медиана.
Модой M0(X) случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Термин, «наиболее вероятное значение», строго говоря, применим только к дискретным случайным величинам, для непрерывной случайной величины модой является то значение, в котором плотность вероятности f(x) максимальна. На рисунке показана мода M0(X) для дискретной и непрерывной случайных величин.
Если многоугольник распределения или кривая распределения имеет более одного максимума, то распределение называют полимодальным. Если же многоугольник распределения или кривая распределения имеет ровно один максимум, то распределение называют унимодальным.
В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, когда распределение является симметричным, существуют мода и математическое ожидание, то они совпадают друг с другом и с центром симметрии распределения. Например, совпадают мода и математическое ожидание у биномиального распределения с параметрами n и p, если n – четно.
Для непрерывных случайных величин часто применяют еще одну характеристику положения – медиану случайной величины. Медианой Me(X) непрерывной случайной величины X называется такое ее значение, для которого P(X < Me(X))=P(X < Me(X))=1/2.
Геометрически вертикальная прямая x=Me, проходящая через точку с абсциссой, равной x=Me, делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части.
В случае симметричного унимодального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.
Наряду с приведенными выше числовыми характеристиками для описания случайной величины используются понятия квантилей и процентных точек.
Квантилем уровня q (или q–квантилем) называется такое значение xq случайной величины X, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т.е. F(xq)=P(X< x < q)=q.
Некоторые квантили получили специальное название. Очевидно, медиана случайной величины есть квантиль уровня 0,5, т.е. Me(X)=x0,5 . Квантили x0,25 и x0,75 получили название соответственно нижнего и верхнего квантилей.
С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. 100q%-й точкой называется квантиль x1-q, т.е. такое значение случайной величины X, при котором P(x ≥ x1-q)=q.
Пример. Случайная величина X задана функцией распределения
Найти: а) моду и медиану случайной величины X; б) квантиль x0,4 и 20%-ю точку распределения X.
Решение. Найдем плотность вероятности f(x):
Очевидно, что плотность вероятности f(x) максимальна при x=M0(X)=1.
Медиану Me(X)=b найдем из условия:
Квантиль x0,4 найдем из уравнения x0,42=0,4; откуда x0,4≈0,632. Найдем 20%-ю точку случайной величины X, или квантиль x0,8, из уравнения x0,82=0,8; откуда x0,8≈0,894.