§ 28. Центробежный момент инерции

 

Центробежный (или двойной) момент инерции площади плоской фигуры относительно осей x и y (рис. I.56, а) определяется как

,

(6.20)

в котором каждый элемент площади dA умножается на произведение его координат, а интегрирование проводится по всей площади фигуры. Из выражения (6.20) следует, что центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

 

Рис. I.56. Расположение фигуры в системе координат:

а – в первом квадранте; б – в каждом из четырех квадрантов

 

Если фигура расположена в первом квадранте системы координат, то момент I_xy положителен, так как все площади dA фигуры имеют положительные координаты (рис. I.56, б). Если фигура расположена во втором квадранте, то момент инерции I_xy отрицателен, поскольку у всех элементов dA координаты y имеют знак «плюс», а координаты x –– знак «минус». Аналогично фигуры в 3-м и 4-м квадрантах будут иметь моменты I_xy соответственно положительные и отрицательные. В случае, когда фигура располагается в двух или более квадрантах, знак центробежного момента инерции будет зависеть от распределения площади этой фигуры между квадрантами.

Рассмотрим частный случай, когда ось y представляет собой ось симметрии фигуры (рис. I.57). Здесь каждому элементу dA, имеющему координату (+х), соответствует такой же элемент с координатой (–х).

 

Рис. I.57. Фигура, имеющая ось симметрии

 

Поэтому, слагаемые суммы  взаимно уничтожаются и интеграл в выражении (6.20) обращается в нуль. Следовательно, центробежный момент инерции относительно осей, одна из которых является осью симметрии, всегда равен нулю.

Теперь предположим, что нам известен центробежный момент инерции I_xy для центральных осей (рис. I.55). Центробежный момент инерции относительно параллельных осей x₁ и y₁ можно найти следующим образом:

.

В правой части выражения первый интеграл есть момент инерции I_xy, второй и третий интегралы – статические моменты, которые относительно центральных осей равны нулю. Четвертый интеграл равен площади фигуры. Следовательно, окончательное выражение примет вид

,

(6.21)

где a и b – координаты центра С плоской фигуры относительно осей x₁ и y₁.

Пример 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник с основанием b и высотой h и найдем центробежный момент инерции относительно центральных осей (см. рис. I.53).

Решение. Выделим на нем полоску с ординатой y и площадью

.

Абсцисса центра этой полоски x=by/(2h). Тогда центробежный момент

=.

(6.22)