§ 115. ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ

 

Продольно-поперечным называют изгиб стержня, при котором изгибающие моменты в его поперечных сечениях возникают от одновременного действия поперечных и продольных внешних сил. Различают три вида такого изгиба в случаях расчета: а) массивных (не гибких) стержней; б) гибких стержней при действии сил в плоскости наибольшей жесткости; в) гибких стержней при действии сил в плоскости наименьшей жесткости.

Массивные стержни (колонны, опоры мостов и т. д.). При одновременном их сжатии и изгибе таких стержней в расчетах можно пользоваться принципом независимости действия сил, как и при внецентренном сжатии (см. гл. 20): напряжения и деформации находят раздельно – от изгиба и от сжатия, а полученные результаты затем алгебраически суммируются.

Гибкие стержни с изгибом в плоскости наибольшей жесткости. Подбор сечения производят исходя из условия прочности при поперечном изгибе в плоскости наибольшей жесткости (см. гл. 16). Затем делают проверку на продольный изгиб (см. гл. 23) в плоскости наименьшей жесткости. При проверочном расчете сначала производят проверку прочности стержня на поперечный изгиб, а затем проверяют его устойчивость.

Гибкие стержни с изгибом в плоскости наименьшей жесткости подлежат детальному рассмотрению, так как в них изгибающий момент от продольной силы может оказаться настолько большим, что им уже пренебрегать нельзя, а кроме того, теряет корректность принципом независимости действия сил.

Уравнение прогибов гибкой сжато-изогнутой балки. Рассмотрим деформацию оси в балке с шарнирно опертыми концами, которая нагружена произвольной системой сил P_i, действующих поперек оси, и силой F, создающей осевое сжатие балки (рис. VII.11). Под одновременным действием этих сил балка изогнется. Полный прогиб в ее сечении с координатой z может быть представлен суммой прогибов, вызванных силами P_i и F:

.

 

 

Рис. VII.11. Продольно-поперечный изгиб призматической балки

 

Аналогичной суммой можно представить изгибающие моменты в сечении:

.

Изгибающий момент от силы F следующий: . Тогда

.

(а)

Запишем дифференциальное уравнение (18.5) изогнутой оси балки:

.

(б)

Подставив формулу (a) в равенство (б), получим:

.

(в)

Положив F=0, придем к уравнению прогибов только при действии сил P_i:

.

(24.15)

Выполнив подстановку выражения (24.15) в формулу (в), избавимся от М_Р и получим окончательный вид дифференциального уравнения полных прогибов

.

(24.16)

Точное решение уравнений (24.15) и (24.16) требует достаточно трудоемких математических преобразований. Задача становится особенно громоздкой, если поперечная нагрузка делит балку на участки, каждому из которых соответствуют свои уравнения, подлежащие интегрированию. Поэтому обратимся к приближенному способу решения, предположив, что форма изогнутой оси стержня близка к синусоиде в обоих случаях. Тогда можно записать функции прогибов в таком виде:

; .

(24.17)

Сделав необходимые подстановки в формулах (24.17) при z=0 и z=L, убедимся, что  и . Тогда решения удовлетворяют граничным условиям задачи, а координате z=L/2 в середине пролета отвечают значения  и .

дважды дифференцируем уравнения (24.17) по переменной z:

; ;

; .

Теперь, сделав обратную подстановку этих выражений для v,  и в уравнение (24.16), после сокращения на общий множитель , будем иметь

.

(г)

В начале и конце данного выражения мы снова встречаемся с множителем, который ранее (в § 114) был назван эйлеровой силой. Поэтому, с учетом обозначения, принятого в (24.12), из (г) следует

.

Отсюда находим окончательную формулу для максимального прогиба балки при ее продольно-поперечном изгибе

.

(24.18)

Ее применяют и для стержней с другими способами крепления по концам, но при этом в выражении эйлеровой силы (24.12) заменяют длину L приведенной длиной  (23.13) в зависимости от способа крепления концов.

Величина прогиба  от действия сил P_i определяется любым способом, изложенным в гл.18.

Пример 21. Установим зависимость прогиба от сжимающей силы для балки, показанной на рис. VII.12.

Решение. К балке на двух опорах приложены сосредоточенная сила Р₁ в середине пролета и сжимающая сила F. Прогиб от силы Р₁ равен (см. пример 14):

.

Полный прогиб от совместного действия сил Р₁ и F

,

где .

Рис. VII.12. Продольно-поперечный изгиб балки

 

В предельном случае, когда , полный прогиб  теоретически неограниченно возрастает, а практически балка разрушится, не достигнув его. Это объясняется тем, что при выводе уравнений (24.15) и (24.16) использовано приближенное выражение для кривизны  изогнутой оси балки. Оно справедливо при малых прогибах . В случае больших прогибов для кривизны  следует пользоваться точным соотношением, приведенным в гл. 17. Когда , прогиб будет очень значительным, но конечной, а не бесконечно большой величины, как это вытекает непосредственно из (24.18). Считается, что оно дает удовлетворительные результаты, если сжимающая сила F лежит в интервале значений . Для большинства задач строительной практики сила F, как правило, не превышает величины 0,5 – 0,6 F_э. Поэтому для практических целей уравнения (24.18) часто вполне достаточно.

Напряжения и условия прочности сжато-изогнутой балки. Для сжато-изогнутой балки с шарнирными опорами (см. рис. VII.11) изгибающий момент, определяется как . Поэтому, используя выражение (24.18), можно записать:

.

(24.19)

Нормальные напряжения крайних волокон в плоскости изгиба обычно вычисляются так:

(24.20)

где и  – моменты сопротивления для крайних сжатых и растянутых волокон.

При расчетах по методу допускаемых напряжений с учетом формул (24.20) условие прочности при продольно-поперечном изгибе для балок с двумя плоскостями симметрии (когда ==W)

,

(24.21)

где  – коэффициент запаса по пределу текучести (σ_т или σ₀₂). Тем самым проверка прочности производится с учетом такого возрастания прогиба, которое отвечает сжимающей силе F, увеличенной в  раз.

После проверки на прочность по условию (24.21) необходима проверка на устойчивость в горизонтальной плоскости, если в ней балка обладает большей гибкостью, чем в вертикальной (плоскости действия сил P_i). Она производится по условию устойчивости (23.26) без учета поперечного изгиба.

 

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

 

1. В чем состоит различие в понятиях эйлеровой силы и критической силы, вычисляемой по формуле Эйлера?

2. Что называют продольно-попречным изгибом?

3. Почему нельзя применять принцип независимости действия сил при продольно-попречном изгибе?

4. Как зависят прогибы при продольно-попречном изгибе от сжимающей и эйлеровой сил? Запишите необходимые формулы.

5. По какой формуле вычисляется изгибающий момент при продольно-попречном изгибе балки?

6. Как определяются нормальные наибольшие напряжения в поперечном сечении балки при ее продольно-попречном изгибе?