Периодические несинусоидальные функции, обладающие каким-либо видом симметрии, имеют определенные свойства, которые упрощают разложение этих функций в тригонометрический ряд. Существуют функции, симметричные относительно оси абсцисс, относительно оси ординат, относительно начала координат, а также функции, симметричные как относительно оси абсцисс, так и относительно оси ординат. Рассмотрим такие функции.

Функция, симметричная относительно оси абсцисс. Функция, удовлетворяющая условию

f(ωt) = - f(ωt + π),          (5.8)

называется симметричной относительно оси абсцисс (рис. 5.4). Иными словами, функция симметрична относительно оси абсцисс, если ее двум абсциссам, отличающимся на полпериода Т/2, соответствуют равные, но разные по знаку ординаты. Кривая обладает свойством симметрии относительно оси абсцисс в том случае, если в результате смещения ее положительной полуволны по оси на полпериода, т. е. на Т/2, и зеркального отражения относительно оси t получается изображение отрицательной полуволны.

Такая функция при разложении в ряд Фурье не содержит постоянной составляющей A₀ и высших гармоник четного порядка. Докажем это положение. Так как условием симметрии является равенство

f(ωt) = - f(ωt + π) или f(ωt) + f(ωt + π) = 0,

где

то в результате сложения имеем

2A₀ + 2A_2msin(2ωt + ψ₂) + 2A_4msin(4ωt + ψ₄) + ...=0.

Последнее равенство имеет место при любых значениях ωt, что возможно только при условии, когда A₀ = 0, А_2m = 0, А_4m = 0 и т. д., т. е. когда нулевая гармоника и амплитуды четных гармоник равны нулю.

Таким образом, функция, симметричная относительно оси абсцисс, при разложении в ряд Фурье содержит только нечетные гармоники.

Следовательно, ряд Фурье такой функции имеет вид

          (5.9)

Функция, симметричная относительно оси ординат. Функция, удовлетворяющая условию

f(ωt) = f( - ωt),          (5.10)

называется симметричной относительно оси ординат (рис. 5.5). Иными словами функция симметрична относительно оси ординат, если двум равным ординатам, соответствуют равные, но разные по знаку абсциссы.

Функция, симметричная относительно оси ординат, при разложении в ряд Фурье не содержит синусов, а содержит только косинусы и постоянную составляющую. Рассмотрим это свойство симметрии.

Итак, условие симметрии f(ωt) = f( - ωt), или f(ωt) - f( - ωt) = 0, где

          (5.11)

          (5.12)

Следует иметь в виду, что при изменении знака аргумента синусы меняют знак, а косинусы его не меняют, так как cos ( - ωt) = cos (ωt). В результате алгебраического сложения уравнений (5.11) и (5.12) имеем

2B_1m sinωt + 2B_2m sin2ωt +2B_3m sin3ωt + ... = 0.

Это равенство будет иметь место при любых значениях ωt, но при условии, когда В_1m = 0, В_2m = 0, В_3m = 0 и т. д. Следовательно, при симметрии функции относительно оси ординат ряд не содержит синусов:

f(ωt) = A₀ + C_1m cosωt + C_2m cos2ωt + C_3m cos3ωt + ... .          (5.13)

Функция, симметричная относительно начала координат. Функция, у которой точка нуля функции совпадает с началом координат (рис. 5.6) и удовлетворяет условию

f(ωt) = - f( - ωt),          (5.14)

называется симметричной относительно начала координат. Согласно (5.14), условие симметрии для данной функции можно также записать в виде f(ωt) + f( - ωt) = 0.

Складывая уравнения (5.11) и (5.12), получим

f(ωt) = 2A₀ + 2C_1m cosωt + 2C_2m cos2ωt + 2C_3m cos3ωt + ... = 0.

Это равенство справедливо при условии А₀ = 0, С_1m = 0, С_2m = 0, С_3m = 0 и т. д. Следовательно, функции, симметричные относительно начала координат, не содержат постоянной составляющей и косинусов и могут быть представлены рядом

B_1m sinωt + B_2m sin2ωt +B_3m sin3ωt + ... .          (5.15)

Функция, симметричная как относительно оси абсцисс, так и начала координат. Если функция симметрична относительно оси абсцисс, то при разложении ее в ряд в нем отсутствуют нулевая и четные гармоники, а для функции, симметричной относительно начала координат, кроме того, отсутствуют и косинусоиды. Следовательно, функция, симметричная как относительно оси абсцисс, так и начала координат, (рис. 5.7), при разложении в ряд состоит только из синусоид нечетного порядка:

B_1m sinωt + B_3m sin3ωt +B_5m sin5ωt + ... .          (5.16)

Пример 5.1. К трехпроводной трехфазной линии с линейным напряжением 380 В подключен трехфазный приемник с параметрами R = 10 Ом, X_L = 10 Ом, Х_с=10 Ом. Рассчитать токи в фазах и в линии, построить совмещенные топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

Решение. Сопротивления фаз по модулю одинаковые, но по аргументу разные; следовательно, нагрузка несимметричная и ток, каждой фазы необходимо рассчитать отдельно.

Комплексные сопротивления фаз:

Комплексные линейные напряжения:

Фазные токи:

    

Линейные токи:

Рисунок к примеру 5.1.

Для построения векторных диаграмм выбираем масштабы напряжения и тока. Строим топографическую диаграмму напряжений.

Рисунок к примеру 5.1.

Векторы фазных токов I_ab, I_bc, I_ca соответственно откладываем относительно векторов линейных напряжений U_ab, U_bc, U_ca под углами φ_ab = 0, φ_bc = 90⁰, φ_ca = - 90⁰. Затем в соответствии строим векторы I_A, I_B, I_C длина и направление которых должны соответствовать расчетным данным.

Пример 5.2. К трехфазной линии с U_л = 380 В подключены трехфазный симметричный приемник, фазы которого соединены треугольником, и группа однофазных приемников, соединенных звездой с нейтральным проводом. Комплексное сопротивление фазы симметричного приемника Активные мощности однофазных приемников Р_a = 5500 Вт, Р_b = 3300 Вт, Р_c = 7700 Вт при соsφ_ф = 1. Сопротивлением проводов можно пренебречь. Определить: фазные и линейные токи симметричного приемника, токи в несимметричных приемниках, суммарные активную, реактивную и полную мощности.

Решение. Фазные напряжения при соединении звездой с нейтральным проводом

Рисунок к примеру 5.2.

Фазные токи однофазных приемников:

Фазные и линейные токи трехфазного приемника:

и его активная, реактивная и полная мощности: